산술급수. 기하급수. / 산술평균. 기하평균.

아래 글은 블로그 포스트 'https://blog.naver.com/goldenms/10088863874'를 정리한 것이다. 

 

산술급수.

 

산술이라는 말은 더해진다는 의미. 1, 2, 3, 4, 5처럼 숫자가 일정한 값이 증가되는 경우 우리는 산술적인 증가를 한다고 이야기하고 이를 등차수열이라고 말한다. 산술급수적인 증가라는 말은 이런 일련의 숫자가 더해지는 것을 의미한다.

 

산술급수는 등차급수와 같은 의미이고, 이를 영어로 arithmetic series라고 하는데 여기서 arithmetic 이라는 말은 "대수의"라는 의미를 지니고 있다.

 

대수적인 증가라는 것은 정수, 분수, 유리수 등을 의미하는데 이런 수만큼 변화한다는 것은 더해지거나 빼지는 가감의 문제에 국한된다는 것을 말하기 때문이다. 즉, 앞 숫자, 가운데 숫자, 그 뒷 숫자 사이의 증감을 생각해 본다면 그 합이 영이 될 수밖에 없는 구조를 지니고 있다는 것이다. 이 세 숫자 배열중 가운데 있는 수를 앞과 뒤의 숫자의 산술평균이라고 말하며 이는 앞, 뒤 수의 합을 2로 나눈 것으로 정의된다.

 

기하급수.

 

2, 4, 8, 16 식으로 증가하는 등비수열과 같이 기하급수는 일정한 비율만큼 곱해지고 있다는 의미이다. geometric series라는 영문을 번역한 것으로, 일정한 값이 곱해진다는 관점에서 등비급수라고 명명하기도 한다. 기하평균은 등비수열의 가운데 항 즉, 등비중항과 같은 개념인 것이다.

 

기하급수적으로 증가한다는 말은 등비급수적으로 증가한다는 말과 같으며 이는 같은 비율로 일정하게 증가한다는 말을 내포한다.

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이처럼 산술급수와 기하급수는 덧셈과 곱셈의 의미를 지니고 있는 일련의 수라고 볼 수 있다. 

 

멜서스가 말한 산술급수적인 식량증가와 기하급수적인 인구증가는 이 대목을 통해서 비로소 이해되리라 믿는다. 

 

또 하나 산술평균과 기하평균은 각각 등차중항과 등비중항을 가리키며 그 둘의 대소관계는 언제나 산술평균이 기하평균을 압도하거나 같다.

 

기하평균이 사용되는 예는 증가율에서 특히 두드러지는데 이를테면 올해 경제성장률이 4%, 내년 경제성장률이 9%일 때 평균경제성장률이 얼마인지를 구하는 질문에서 생각해볼 수있다. 산술적으로 생각하면 6.5%이지만, 실제 성장한 정도를 따져보면 이는 틀린 답임을 알 수 있다. 100의 생산량을 보유한 나라가 4%성장하여 104가 되었고 다시 9%성장하게 되면 113.36이 되므로 평균적으로는 약 6.47%상승한것으로 볼수 있다. 즉, 6.47%씩 두번 상승해야만 같은 성장량을 보인다는 의미이다.

 

이처럼 산술평균과 기하평균은 서로 다른 의미를 지니고 있고 그 쓰임새가 다른 만큼 두개의 개념을 적절히 숙지하여 혼동되지 않도록 하자.

 

 

算術級數.

幾何級數.

算術平均.

幾何平均.

等差數列.

等比數列.